O objetivo desta dissertação é aplicar a metodologia desenvolvida por Santos et al. no artigo "Emergence of high-order functional hubs in the human brain" para estudar as inter-relações entre as empresas participantes do 𝑆&𝑃 500 (abreviação de Standard & Poor’s 500 ), índice composto por quinhentos ativos cotados nas bolsas de NYSE ou NASDAQ e qualificados devido ao seu tamanho de mercado, sua liquidez e sua representação de grupo industrial. Para tanto, foi desenvolvido um pipeline de processamento de dados para construir redes de alta ordem (high-order networks) a partir de séries temporais e aplicá-los no fechamento diário da bolsa para caracterizar a comunicação de alta ordem (high-order communication) entre as 55 empresas selecionadas, bem como a construção de hypergrafos uniformes e a utilização de métricas multivariadas de modo a definir pesos nestes hypergrafos. Foram revisados os conceitos básicos de grafos e hypergrafos, teoria de redes e medidas de informação multivariada, com especial ênfase dada à sua relação com a sinergia e a redundância, bem como examinar as diferenças entre algumas dessas medidas. Assim, foram confirmadas a aplicabilidade dessa metodologia e a possibilidade de continuar a investigação de surgimentos de high-order hubs na bolsa de valores. Por fim, disponibilizamos o script Python que permite ao usuário recalcular todas as medidas de informação e resultados apresentados neste trabalho.

Este trabalho trata de estabilidade de sistemas de equações diferenciais lineares. Serão vistos conceitos fundamentais de álgebra linear, abordando temas como soluções de sistemas homogêneos e não homogêneos e o logaritmo de matrizes quadradas. Além disso, será examinada a estrutura das soluções de um sistema linear periódico homogêneo, e serão apresentadas as condições sob as quais um sistema linear periódico não homogêneo possui solução. Em seguida será abordada a questão de estabilidade em sistemas de equações diferenciais lineares, apresentando o Teorema de Floquet que permite reduzir a solução de um sistema periódico a um sistema com coeficientes constantes. Por fim trataremos o tema de estabilidade forte de sistemas Hamiltonianos lineares periódicos, apresentando o Teorema de Krein e o Teorema de Krein-Gelfand-Lidskii.

Estamos interessados em uma classe de equações elípticas não-lineares e sistemas regidos por uma taxa de crescimento sub-natural. Fornecemos estimativas pontuais globais do chamado tipo Brezis-Kamin em termos de potenciais de Wolff, o que nos permite obter e condições suficientes para a existência de soluções positivas.

Exploramos três problemas parabólicos com termos não-lineares singulares. No primeiro problema, abordamos a equação de Hardy-Hénon em domínios arbitrários do espaço Euclidiano e investigamos condições de existência e não-existência de soluções globais, que dependem do comportamento do semigrupo aplicado ao dado inicial. Como consequência, recuperamos em alguns casos o expoente crítico de Fujita do problema. No segundo problema, examinamos a boa colocação nos espaços de Lebesgue ponderados para uma equação parabólica de Hamilton-Jacobi com termo gradiente ponderado. No terceiro problema, tratamos a equação de Hardy-Hénon no grupo de Heisenberg e obtemos resultados para existência local, bem como para soluções globais e explosão em tempo finito.

Neste trabalho obtemos uma solução de energia mínima do Ypo Nehari e também uma solução não trivial usando o Teorema do Passo da Montanha, para o seguinte sistema planar de Schrödinger-Poisson $$ \len\{\begin{array}{l} -\Delta u+V(x) u+\phi u=f(x, u), \quad x \in \mathbb{R} ^2, \\ \Delta \phi=u^2, \quad x \in \mathbb{R}^2, \end{array}\right. $$ em que o potencial $V(x)$ e a função não linear $f(x, u)$ são tomados como sendo axialmente simétricos em $x$ e $f(x, u)$ é assintoYcamente cúbica ou supercúbica em $u$, características essas que trazem relevância ao estudo, uma vez que as funções com simetria axial são mais gerais que funções com simetria radial. Além de que existem poucos trabalhos considerando o problema acima com essa parYcularidade.

Modelos de confinamento quântico de partículas possuem diversas aplicações em física, química e até biologia. O confinamento em superfícies têm aplicação direta em nanoestruturas, transporte eletrônico dentre outras propriedades. Aspectos de sua formulação, porém, ainda não estão totalmente resolvidos. A maneira de escrever a equação de Schrödinger pode variar de acordo com a montagem do problema. Descrições que não levam em conta o espaço ambiente são as mais usadas e estão presentes nos livros didáticos. Já a utilização do ambiente no qual o sistema quântico está imerso pode ser feita de maneiras distintas e não há um consenso de quais resultados estão mais de acordo com experimentos. Nesta dissertação, buscamos esclarecer um artigo de Da Costa (Quantum mechanics of a constrained particle. Physical Review A, APS, v. 23, n. 4, p. 1982, 1981),  que traz uma das primeiras formas de incluir o ambiente no problema do confinamento quântico. Esta metodologia representou um grande avanço para a área, ficou explícito como características intrínsecas, locais, da variedade e extrínsecas, do ambiente, podem aparecer no modelo além do operador de energia cinética, o Laplaciano. Encontramos algumas inconsistências no modelo tanto para superfícies quanto para curvas. Fizemos alguns estudos de casos e para curvas fizemos algumas generalizações de hipóteses assumidas no artigo trabalhado. Temos perspectivas para propor alternativas na forma de obter a separação de variáveis, tanto para superfícies, quanto curvas quanto outras variedades.

Neste trabalho, fazendo o uso de ferramentas da Análise Funcional e Topologia, estudamos o modelo fracionário de Keller- Segel para quimiotaxia, de ordem entre 0 e 1, no espaço Rn com n maior ou igual a 2. Considerando dados iniciais suficientemente pequenos, provaremos a boa colocação do problema em espaços homogêneos de Besov-Herz fraco, bem como a continuidade fraca da solução no tempo igual a 0. Por fim, faremos uma análise
do comportamento assintótico da solução.

A proposta desta tese é estudar subvariedades imersas em certos produtos Riemannianos que estendem naturalmente o espaço Euclidiano (n+1)-dimensional. Para isto desenvolvemos uma fórmula do tipo Simons para subvariedades com segunda curvatura média constante e possuindo vetor curvatura média normalizado paralelo imersas nestes espaços e, tendo como hipóteses restrições adequadas no quadrado da
norma do tensor de umbilicidade e da função ângulo, concluímos que estas devem ser totalmente umbílicas em um slice. Em seguida, considerando subvariedades Weingarten linear fechadas, obtivemos uma desigualdade integral que nos permitiu classificar aquelas que atingem a igualdade como as totalmente umbílicas ou uma certa família de subvariedades paralelas contidas em um slice. Por fim, consideramos subvariedades que são pontos críticos do funcional curvatura média total e, para o caso particular das superfícies que satisfazem a equação de Euler-Lagrange deste funcional, obtviemos uma desigualdade integral que relaciona o tensor de umbilicidade da superfície com sua característica de Euler. Como consequência, caracterizamos aquelas que atingem a igualdade obtendo como um dos resultados, uma classe de superfícies mínimas.

Neste trabalho, estudamos as equações de Navier-Stokes em duas situações diferentes, o primeiro caso trata-se do problema fracionário em que temos o modelo de Keller-Segel duplo acoplado ao fluido de Navier-Stokes, o segundo diz respeito às equações de Navier-Stokes com viscosidade hereditária. Para o modelo acoplado provamos a existência de soluções brandas globais com dados iniciais pequenos em espaços de Besov-Morrey críticos. Os resultados apresentados nos permitem obter soluções auto-similares desde que os dados iniciais sejam funções homogêneas com normas pequenas e considerando o caso do atraente químico sem taxa de degradação. Além disso, verificamos a estabilidade assintótica de soluções com o tempo tendendo ao infinito e obtemos uma classe de soluções assintoticamente auto-similares. Para as equações com viscosidade hereditária usamos a estrutura dos resolventes subordinados para aplicar a mesma metodologia do caso acoplado. Da mesma forma, garantimos com isso a existência e unicidade de soluções brandas globais ou locais, a depender do núcleo da equação integro-diferencial, com condições iniciais pequenas em espaços de Besov-Morrey. Para as soluções globais também obtemos resultados de estabilidade sob perturbação dos dados iniciais.

Neste trabalho, estudamos numericamente a dinâmica de N- vórtices em alguns domínios com fronteira, a saber, o disco unitário denotado por D1; e a região interna de uma elipse centrada na origem com semieixos a=cosh(c) e b=senh(c), onde c>0 este último domínio é denotado por E1. A estabilidade de uma solução periódica dada por N-vórtices iguais em D1 é determinada.
As soluções de um dipolo são estudadas cuidadosamente em E1. Mostramos ainda, utilizando mapas de Póincaré, que a dinâmica do dipolo em E1 é caótica. Por fim, utilizamos a conjectura de Kimura para destacar as diferenças e semelhanças na dinâmica de dois vórtices nos domínios D1 e E1.

Nesta tese, buscamos identificar as principais diferenças estruturais e dinâmicas em redes cerebrais de indivíduos com transtorno do espectro autista (ASD) e aqueles com desenvolvimento típico (TD). Utilizando ferramentas de Análise Topológica de Dados (TDA) e implementações em Python, conseguimos construir redes cerebrais para cada indivíduo em nosso banco de dados, utilizando grafos, hypergrafos e complexos simpliciais. Com base em uma generalização do modelo de Kuramoto para complexos simpliciais, estudamos o fenômeno de hipersincronização na rede cerebral media de um indivíduo TD e o comparamos com um indivíduo ASD. Por meio de uma análise detalhada de diversas centralidades de hypergrafo, conseguimos visualizar as regiões do cérebro com as maiores diferenças entre os dois grupos, utilizando ferramentas modernas de visualização em TDA e comparamos com a literatura em ASD. Esse trabalho contribui para o melhor entendimento de aspectos dinâmicos, topológicos e geométricos em redes cerebrais, em particular relativos ao transtorno do espectro autista.

Neste trabalho, estudamos bifurcações de configurações de Dziobek dos problemas de quatro e cinco corpos com o objetivo de encontrar novas configurações centrais. Inicialmente estudamos as bifurcações de uma configuração triangular com corpos de massas unitárias em seus vértices e centrada num corpo com massa de valor arbitrário. Utilizando o método de Redução de Liapunov-Schmidt e o Teorema da Ramificação Equivariante, confirmamos que apenas as três famílias de configurações já conhecidas   bifurcam da configuração degenerada. Em seguida, estudamos as bifurcações de uma configuração de Dziobek do problema de cinco corpos no espaço. Mais precisamente, uma configuração tetraedral com corpos de massas unitárias nos vértices e centrada num corpo de massa arbitrária. Primeiramente, analisamos o que ocorre numa vizinhança da configuração degenerada variando igualmente três das massas dos vértices. Em seguida, variamos igualmente duas das massas dos vértices. Utilizamos o método de Redução de Liapunov-Schmidt, a equivariância das equações que descrevem o problema e expansão de Taylor para obter novas configurações centrais. No primeiro caso, encontramos quatro novas famílias simétricas que surgem da configuração degenerada e no segundo, encontramos três novas famílias simétricas.

Neste trabalho elencaremos alguns resultados da teoria de Morse em dimensão finita e infinita para funcionais de classe C^{2} definidos em uma variedade diferenciável M e modelada em um espaço de Hilbert H. Em determinados casos, tais resultados quando aliados a teoremas de deformação, nos possibilitam descrever grupos críticos de certos pontos críticos e, por conseguinte, a aquisição de teoremas de pontos críticos que garantem sob quais condições uma função f admite um ou mais pontos críticos não-triviais. Como aplicação estudaremos a  existência e multiplicidade de soluções para uma classe de Problemas Elípticos Semilineares. Para tal, utilizaremos ferramentas do Cálculo Variacional e a Teoria de Morse aplicados ao funcional associado ao problema, definido no espaço de Sobolev adequado para buscarmos soluções fracas dessa classe de problema.

Nesta dissertação apresentamos alguns modelos populacionais, demográficos, epidemiológicos e evolucionários em
biomatemática. Os modelos populacionais exponencial e logístico são apresentados e, em seguida, aplicados à genética de populações. Dinâmicas evolucionárias são previstas nessa monografia através de modelos de invasão de equilíbrio. Por fim, a genética de populações é aplicada a um modelo epidemiológico compartimentado com o fim de prever tendências na evolução parasitária.

As equações diferenciais de segunda ordem (SODE) têm desempenhado um importan- tissímo papel do estudo de modelos físicos e biológicos, em particular, o sistema de Volterra- Hamilton (4.13) é um dos SODE mais usados em problemas ecológicos. Desenvolvemos os assuntos nevessários de geometria Finsler afim de esturdarmos alguns aspectos das trajetórias que são soluções de um sistema de Volterra-Hamilton. Algumas vezes as geodesicas de uma espaço Finsler podem ser encaradas como um um sistema de Volterra-Hamilton, onde as estas trajetórias podem ser interpretadas como uma produção de uma espécie no meio-ambiente, e o funcional métrico pode representar o funcional do custo de produção. No sentido biológico, foi apresentado por Antonelli em, (ANTONELLI; RUTZ, 2005), os espaços Finsler bidimensionais as- sociados a cada tipo de iteraração entre espécies. Espaços de curvatura são considerados para investigar a estabilidade de produção de duas espécies, durante suas interações de produção, pela curvatura Gaussian de Berwald K para bidimensionais espaços Finsler (ANTONELLI; INGARDEN; MATSUMOTO, 1993). Um outro assunto importante neste trabalho é a ideia de semisprays e sprays (3.2), que representa um SODE algum espaço Finsler, por exemplo. Alguns invariantes geométricos, chamados de invariantes KCC, são calculados para estudar aspectos das trajetótias soluções de um semispray. Usamos a teoria dos sistemas de Volterra-Hamilton e seus funcionais de custo para estudar a dinâmica populacional e o processo de produção de um recife de corai em recuperação de branqueamento, mostrar que o custo de produção permanece o mesmo após o processo. A teoria KCC com seus invariantes geométricos são determinantes para o modelo proposto afim de descrever a interação simbiótica renovada entre as algas e os corais.

O objetivo desse trabalho é apresentarmos estimativas para o decaimento em $L^2$ das derivadas de ordem mais alta para as soluções fracas das equações de Navier-Stokes, seguindo as linhas de Guterres, Niche, Perusato e Zingano [7]. De forma mais precisa, partindo de condições iniciais dadas em L^2_\sigma, buscamos estimar o decaimento (para tempo grande) das soluções na norma $\dot{H}^m(\mathbb{R}^3)$, para cada $m \geq 0$ inteiro. Para isso, aplicamos para as equações de Navier-Stokes os resultados gerais originalmente para uma classe de EDP's parabólicas obtidos em [7]. Neste caso, apresentamos uma prova mais simples dos resultados. Ao longo desse trabalho, assumimos sempre a hipótese do fluido ser incompressível. Além do mais, ao longo do texto demonstramos alguns resultados auxiliares de interesse como: ferramentas de análise, resultados sobre o comportamento assintótico para a equação do calor e desigualdades do tipo Sobolev. Em particular, mostramos a desigualdade do tipo Sobolev desenvolvida em Braz e Silva, J. Zingano e P. Zingano [3].

Nesta dissertação propomos uma derivação alternativa de um efeito físico espontâneo envolvendo as soluções do sistema micropolar. Tal efeito, obtido recentemente por R. Guterres, W. Melo, C. Perusato e P. Zingano, expressa uma forte sincronia (para tempo grande) entre a vorticiade de fluido e sua velocidade de microrrotação. Daremos um argumento heurístico para a obtenção desta propriedade. Além disso, vários resultados auxiliares de interesse são mostrados em detalhe nos capítulos iniciais do presente trabalho.

Neste trabalho apresentaremos ferramentas para o estudo de propriedades ergódicas e estatísticas de transformações expansoras, expansoras por partes e hiperbólicas. Conheceremos o operador de transferência, para o qual nos dedicaremos em boa parte do trabalho ao estudo do seu espectro quando atua sobre algum espaço de funções regulares (Hölder, Lipschitz, �� 1, Sobolev ����,1, etc.). Neste estudo serão importantes as desigualdades de Lasota-Yorke, as quais implicam em diversos casos que o operador possui a propriedade de lacuna espectral – essa propriedade é obtida graças ao Teorema de Hennion. Como consequência estatística da propriedade de lacuna espectral, veremos que esta é suficiente para demonstrar o decaimento exponencial de correlações para as dinâmicas consideradas. As ferramentas citadas acima serão aplicadas para os casos de transformações expansoras e para expansoras por partes, onde obteremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas e o decaimento exponencial de correlações. Para algumas expansoras em dimensão 1 veremos também que a medida invariante tem densidade regular em algum espaço de Sobolev. Também apresentaremos o deslocamento de Markov como um exemplo ilustrativo da propriedade de lacuna espectral e dodecaimento exponencial de correlaçoes. Veremos também outras consequências da dinâmica ter lacuna espectral, como o Teorema Central do Limite, e como a lacuna espectral implica na dependência diferenciável de densidade invariante em relação à dinâmica, o que é conhecido como linear response formula. Ao final, iremos fazer um breve estudo de dinâmicas uniformemente contrativas. Aqui tomaremos espaços duais aos que foram usados para as expansoras e assim iremos obter regularidade para o operador de transferência associado àdinâmica contrativa. Com isto, daremos um exemplo de uma classe de dinâmicas hiperbólicas para a qual vamos definir uma norma de forma que temos uma desigualdade tipo Lasota-Yorke.

Neste trabalho, provamos a existência e finitude de medidas físicas suportadas em atratores parcialmente hiperbólicos para difeomorfismos locais cuja direção central é neutra e satisfazem uma condição geométrica de transversalidade entre as imagens das direções instáveis. Provamos também que estas medidas são absolutamente contínuas e a união de suas bacias possui volume total na bacia de atração do atrator. Além disso, verificamos que se o atrator tem direção central neutra e a ação da derivada sobre a direção instável está próxima de conforme, então é possível perturbar a dinâmica de modo que satisfaça a condição geométrica de transversalidade e, portanto, tenha finitas medidas físicas absolutamente contínuas. Ao final, fornecemos alguns exemplos onde são satisfeitas tais condições. Em especial, exibimos um exemplo de atrator não hiperbólico, com expoentes de Lyapunov centrais negativos (é mostly contracting) e cujas medidas físicas são absolutamente contínuas e outro exemplo de um atrator que possui expoentes de Lyapunov centrais positivos e negativos.

O aumento da temperatura acelera o desenvolvimento das formas imaturas do Aedes aegypti. Por sua vez, caso alcance a forma alada, a fêmea adulta do mosquito possui a chance de efetuar um repasto sanguíneo num hospedeiro virêmico. Após um período de disseminação e replicação do vírus no organismo do mosquito, assim que o vírus chega às glândulas salivares, a fêmea adulta torna-se apta a infectar pessoas suscetíveis de uma população. Este Período de Incubação Extrínseco conhecido como EIP, que no caso da dengue varia em média de 15 dias à 25°C a 6,5 dias à 30°C, é fundamental no estudo epidemiológico de arboviroses mundialmente relevantes como a dengue, chikungunya, zika e febre amarela. Portanto, quanto maior a longevidade de uma fêmea adulta, maior é sua probabilidade de atingir o EIP e passar a transmitir tais doenças. Há décadas, a longevidade das fêmeas adultas é alvo de exploração por pesquisadores em diferentes regimes de temperatura. Por outro lado, trabalhos recentes têm investigado a influência da umidade relativa do ar juntamente com temperatura nas taxas de mortalidade dos alados. No nosso trabalho, propomos uma modelagem baseada em agentes que permite simular e analisar o ciclo de vida do Aedes aegypti em diversas configurações climáticas, desde a fase aquática até a fase adulta. Simulamos computacionalmente e investigamos a relação longevidade versus comprimento do EIP da dengue na tentativa de propor soluções para o combate ao Aedes aegypti em grandes capitais brasileiras.

Neste trabalho estudaremos a existência de configurações centrais simétricas do problema de N corpos sob a ótica da teoria de grupos através de ações de subgrupos finitos do grupo ortogonalnos espeaços euclideanos de dimensão a partir do Teorema de James Montaldie com o auxílio do Princípio da Criticalidade Simétricade Richard Palais. Com objetivo de evitar ordenações artificiais dos corpos estudados, construiremos ao longo do texto a estrutura topológica e diferenciável do espaço de configurações ordenadas quocientado pelo grupo de permutações para exibir a possibilidade de analisar configurações centrais a partir de pontos críticos da função potencial restrita a algum nível do momento de inércia. Além disso, mostraremos algumas generalizações da forma geométrica das configurações com simetria diedral e cíclica para corpos no plano euclideanoe com o auxílio do software SageMath, faremos o mesmo para configurações com simetria tetraedral e octaedral para corpos no espaço euclideano tridimensional.

A dissertação tem como objetivo fazer uma introdução à K-teoria e da relação desta com os operadores de Fredholm. Será apresentada uma demonstração do Teorema de Periodicidade de Bott via a construção do index bundle aplicada aos operadores de Wiener-Hopf.

Nesta dissertação estudaremos o sistema de Boussinesq do tipo KdV-KdV, o qual descreve a propagação de ondas (de pequena amplitude) na superfície de um canal de água. O trabalho será dividido em 5 capítulos. O primeiro capítulo diz respeito a resultados clássicos que serão utilizados no desenvolvimento da dissertação. No segundo capítulo, estudaremos como obter dissipação da energia associada a solução do sistema e o efeito regularizante de Kato, sendo preciso, mostraremos algumas condições de contorno que garantem estas duas propriedades. No terceiro capítulo voltamos nossa atenção para o problema de controlabilidade exata para o sistema linearizado de Boussinesq do tipo KdV-KdV com dois controles. Utilizando o método da unicidade de Hilbert mostraremos que o sistema em questão é exatamente controlável. No quarto capítulo usaremos o fato de que a energia do sistema é dissipativa, para um certo conjunto de condições de contorno, e juntamente com algumas estimativas pontuais garantimos a boa colocação do problema e a estabilidade exponencial das soluções. Por fim, no último capítulo, apresentaremos algumas considerações e perspectivas de estudos futuros para o sistema de Boussinesq.

Ferramentas matemáticas, como a modelagem, são constantemente utilizadas no estudo da demográfica humana. Mesmo que os sistemas estruturados etariamente tenham sido escritos primeiramente para esta área, as ideias e formas empregadas contribuem bastante para o desenvolvimento de outras populações biológicas, sendo simples ou complexas. A idade é um parâmetro importantíssimo na estruturação de uma população,então o presente estudo visa modelar sistemas populacionais lineares e não-lineares com dependência etária cuja população é dividida em fases ou estágios de vida onde uma respectiva fase é representada pela equação de nascimento total correspondente à fase de vida anterior, isto é, representadas por equações acopladas. Conceitos muito trabalhados na demografia humana, como taxas de fertilidade, mortalidade, natalidade, são incorporados aos sistemas e por método numérico três dos modelos estudados são representados e têm seus códigos escritos no software MATLAB a fim de encontrar uma solução aproximada para cada modelo quando aplicados a dados reais de uma espécie de anfíbio anuro: a Rana temporaria. Os gráficos de distribuição etária e temporal obtidos no programa, em cada fase de vida da espécie, são comparados com os dados presentes sobre a mesma na literatura. Os modelos aplicados a R. temporaria foram um linear com taxas vitaisconstantes, outro também linear com taxa de fertilidade adulta periódica no tempo e, o último, não-linear com um termo logístico na fase adulta. Na parte teórica do trabalho, foi obtida existência, unicidade, positividade e regularidade das soluções de cada modelo e, na aplicação numérica, comparando os resultados obtidos com os dados de vida da R. temporaria, o modelo logístico foi o mais condizente com a realidade da população.