Este trabalho tem como objetivo estudar o papel que o grupo simplético desempenha no estudo dos sistemas Hamiltonianos periódicos lineares fortemente estáveis. Para isso, iremos fazer uso de ideias desenvolvidas por Krein, Gelfand e Lidskii no século passado. Iremos identificar um sistema Hamiltoniano linear periódico fortemente estável com a sua matriz que chamaremos de matriz fortemente estável. Relacionaremos a este sistema o índice de Gelfand-Lidskii que será a classe de homotopia do caminho fechado Q(t) no grupo fundamental do grupo simplético, onde Q(t) é a matriz periódica numa decomposição de Floquet X(t)=Q(t)exp(tB) do seu matrizante X(t).Diremos que duas matrizes fortemente estáveis estão no mesmo domínio de estabilidade se existir uma homotopia ligando ambas de modo que cada elemento da homotopia também seja uma matriz fortemente estável. O índice de Gelfand-Lidskii nos dará uma maneira de classificar os domínios de estabilidade.

Neste trabalho estudaremos dois princípios do máximo no infinito para variedades Riemannianas completas não-compactas. Como aplicação, veremos que uma hipersuperfície orientável completa e não compacta com segunda forma fundamental positiva semi-definida, em uma variedade Riemanniana ou Lorentziana, sob condições de transversalidade a um campo vetorial paralelo e de convergência no infinito para este campo, deve ser totalmente geodésica . Também verificaremos que o mesmo resultado pode ser encontrado substituindo a hipótese da segunda forma fundamental por curvatura média constante e limitação na curvatura de Ricci (Condição de Convergência Temporal na variedade Lorentziana). Por fim, serão obtidos resultados do tipo Bernstein e do tipo Calabi-Bernstein.

Os fractais são onipresentes, desde os gerados por computador até os vistos na natureza. Por outro lado, a topologia aplicada é comumente usada para descrever e entender dados complexos. Esta dissertação visa fundir esses dois tópicos distintos para investigar superfícies fractais usando métodos e conceitos de análise de dados topológicos (TDA). Para tanto, estudamos a homologia de alguns fractais gerados por computador, a saber: fractais de Mandelbrot, Julia e Newton. Em cada um deles, calculamos múltiplas métricas em homologia persistente em função de um parâmetro de filtragem, como seus diagramas de persistência, códigos de barras, curvas de Betti e características de Euler. Tentamos procurar uma assinatura para tais fractais em comparação com não fractais usando a linguagem de TDA. Portanto, investigamos esses fractais para diferentes parâmetros de controle que podem ter influenciado sua homologia persistente, por exemplo, quantidade de pontos, qualidade da imagem, etc. Em particular, também investigamos a transição de fase topológica desses fractais estudando os locais dos zeros da curva da característica de Euler. Encontramos diferenças entre a transição de fase das superfícies fractais quando contrastadas com não fractais. Mais especificamente, os zeros das características de Euler ocorrem em limiares mais altos para superfícies fractais investigados neste trabalho. Esperamos que este trabalho possa contribuir para uma compreensão adequada dos fractais na linguagem de homologia persistente.

Neste trabalho demonstraremos a finitude genérica para configurações centrais de Dziobek associadas a um potencial semi-inteiro. Isto é, existe um aberto de Zariski no espaço euclidiano n-dimensional tal que para todo vetor de massas m neste aberto, corresponde uma quantidade finita, a menos de isometrias, de configurações centrais com dimensão n - 2. A análise é restrita ao caso de forças que dependem das distâncias mútuas elevadas a um expoente a semi-inteiro, possibilitando utilizar métodos da Geometria Algébrica. Determinamos equações polinomiais cujos zeros estão relacionados com as configurações de Dziobek. Assim construímos uma variedade quase afim definida por esses polinômios e calculamos sua dimensão utilizando os espaços tangentes e a matriz Jacobiana. Com o Teorema da Dimensão das Fibras encontramos o aberto de Zariski desejado. Por fim, existe uma cota superior para estas quantidades finitas de configurações centrais que independe da escolha genérica das massas. Chegamos a esta cota utilizando resultados topológicos para a quantidade de componentes conexas de uma variedade
afim.

Neste trabalho, provamos a existência e finitude de medidas físicas suportadas em atratores parcialmente hiperbólicos para difeomorfismos locais cuja direção central é neutra e satisfazem uma condição geométrica de transversalidade entre as imagens das direções instáveis. Provamos também que estas medidas são absolutamente contínuas e a união de suas bacias possui volume total na bacia de atração do atrator. Além disso, verificamos que se o atrator tem direção central neutra e a ação da derivada sobre a direção instável está próxima de conforme, então é possível perturbar a dinâmica de modo que satisfaça a condição geométrica de transversalidade e, portanto, tenha finitas medidas físicas absolutamente contínuas. Ao final, fornecemos alguns exemplos onde são satisfeitas tais condições. Em especial, exibimos um exemplo de atrator não hiperbólico, com expoentes de Lyapunov centrais negativos (é mostly contracting) e cujas medidas físicas são absolutamente contínuas e outro exemplo de um atrator que possui expoentes de Lyapunov centrais positivos e negativos.

Neste trabalho estudaremos a existência de configurações centrais simétricas do problema de N corpos sob a ótica da teoria de grupos através de ações de subgrupos finitos do grupo ortogonalnos espeaços euclideanos de dimensão a partir do Teorema de James Montaldie com o auxílio do Princípio da Criticalidade Simétricade Richard Palais. Com objetivo de evitar ordenações artificiais dos corpos estudados, construiremos ao longo do texto a estrutura topológica e diferenciável do espaço de configurações ordenadas quocientado pelo grupo de permutações para exibir a possibilidade de analisar configurações centrais a partir de pontos críticos da função potencial restrita a algum nível do momento de inércia. Além disso, mostraremos algumas generalizações da forma geométrica das configurações com simetria diedral e cíclica para corpos no plano euclideanoe com o auxílio do software SageMath, faremos o mesmo para configurações com simetria tetraedral e octaedral para corpos no espaço euclideano tridimensional.

A dissertação tem como objetivo fazer uma introdução à K-teoria e da relação desta com os operadores de Fredholm. Será apresentada uma demonstração do Teorema de Periodicidade de Bott via a construção do index bundle aplicada aos operadores de Wiener-Hopf.

Nesta dissertação estudaremos o sistema de Boussinesq do tipo KdV-KdV, o qual descreve a propagação de ondas (de pequena amplitude) na superfície de um canal de água. O trabalho será dividido em 5 capítulos. O primeiro capítulo diz respeito a resultados clássicos que serão utilizados no desenvolvimento da dissertação. No segundo capítulo, estudaremos como obter dissipação da energia associada a solução do sistema e o efeito regularizante de Kato, sendo preciso, mostraremos algumas condições de contorno que garantem estas duas propriedades. No terceiro capítulo voltamos nossa atenção para o problema de controlabilidade exata para o sistema linearizado de Boussinesq do tipo KdV-KdV com dois controles. Utilizando o método da unicidade de Hilbert mostraremos que o sistema em questão é exatamente controlável. No quarto capítulo usaremos o fato de que a energia do sistema é dissipativa, para um certo conjunto de condições de contorno, e juntamente com algumas estimativas pontuais garantimos a boa colocação do problema e a estabilidade exponencial das soluções. Por fim, no último capítulo, apresentaremos algumas considerações e perspectivas de estudos futuros para o sistema de Boussinesq.

Ferramentas matemáticas, como a modelagem, são constantemente utilizadas no estudo da demográfica humana. Mesmo que os sistemas estruturados etariamente tenham sido escritos primeiramente para esta área, as ideias e formas empregadas contribuem bastante para o desenvolvimento de outras populações biológicas, sendo simples ou complexas. A idade é um parâmetro importantíssimo na estruturação de uma população,então o presente estudo visa modelar sistemas populacionais lineares e não-lineares com dependência etária cuja população é dividida em fases ou estágios de vida onde uma respectiva fase é representada pela equação de nascimento total correspondente à fase de vida anterior, isto é, representadas por equações acopladas. Conceitos muito trabalhados na demografia humana, como taxas de fertilidade, mortalidade, natalidade, são incorporados aos sistemas e por método numérico três dos modelos estudados são representados e têm seus códigos escritos no software MATLAB a fim de encontrar uma solução aproximada para cada modelo quando aplicados a dados reais de uma espécie de anfíbio anuro: a Rana temporaria. Os gráficos de distribuição etária e temporal obtidos no programa, em cada fase de vida da espécie, são comparados com os dados presentes sobre a mesma na literatura. Os modelos aplicados a R. temporaria foram um linear com taxas vitaisconstantes, outro também linear com taxa de fertilidade adulta periódica no tempo e, o último, não-linear com um termo logístico na fase adulta. Na parte teórica do trabalho, foi obtida existência, unicidade, positividade e regularidade das soluções de cada modelo e, na aplicação numérica, comparando os resultados obtidos com os dados de vida da R. temporaria, o modelo logístico foi o mais condizente com a realidade da população.