Motivados pelo estudo do fluxo pela curvatura média, a presente dissertação trata do detalhamento da construção, contida no trabalho Scherk-like translators for mean curvature flow (2022), de quatro sólitons de translação: de Scherk, Scherknoide, do tipo Helicoide e Pitchfork. Quanto à organização, os três primeiros capítulos são dedicados à introdução e à base teórica que sustenta o nosso trabalho. O quarto apresenta um breve e necessário apanhado acerca das superfícies mínimas e do problema de Plateau. O quinto é uma coleção de teorias, teoremas e resultados essenciais em nosso contexto. O sexto é a construção em si. Finalmente, no último capítulo, trazemos resultados recentes que garantem a unicidade para o Pitchfork e para o sóliton de translação do tipo Helicoide.

Esta dissertação visa apresentar o estudo de diferentes ferramentas da Teoria Algébrica dos Números tendo dois
objetivos principais: o primeiro sendo compreender em detalhes o Teorema de Hasse-Minkowski para quádricas, que afirma que uma formaquadrática em 𝑛 variáveis sobre um corpo de números 𝐾 representa 0 se e somente se representa 0 em cada completamento 𝐾p. Como prérequisito para isso, estudamos os números algébricos, a teoria de valoração e a teoria de corpos de classe. O segundo objetivo foi utilizar as ferramentas aprendidas ao longo do estudo para construir uma formulação e resultados análogos ao problema de Frobenius para domínios com valor absoluto, se tratando de um problema inicialmente formulado sobre os números inteiros e que diferentes autores buscaram generalizar para outros ambientes matemáticos como polinômios e domínios de
integridade.

O objetivo deste trabalho é apresentar um resultado sobre o decaimento, na norma L2, de soluções fracas (no sentido de Leray) das equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis em Rn, obtido em 1987 por Michael Wiegner. Mais precisamente, Wiegner mostrou que se as equações de Navier-Stokes e do calor tiverem os mesmos dados iniciais e mesmo termo forçante, então o decaimento da solução do calor implica no decaimento da solução fraca de Navier-Stokes (com a mesma taxa de decaimento).

Esta tese de doutorado trata do problema de Cauchy associado às equações micropolares com amortecimento não linear. Tal termo de amortecimento introduz dificuldades nos problemas assintóticos aqui investigados. São apresentados resultados teóricos sobre a existência, unicidade e comportamento assintótico para tempo grande de soluções fracas. Técnicas como Fourier Splitting, desigualdades de energia com peso e a recente abordagem de monotonicidade para o gradiente das soluções são utilizadas para investigar a estabilidade das soluções, taxas de decaimento de energia e sincronização espontânea entre micro-rotação e vorticidade. Tal como no sistema micropolar clássico (sem amortecimento não linear), observa-se um ganho extra na taxa de decaimento do campo microrrotacional. Resultados auxiliares também foram incluídos.

Aseguinte tese tem por objetivo estudar estimativas para o  primeiro autovalor do operador p-Laplaciano de subvariedades compactas (com ou sem bordo) imersas em uma variedade Riemanniana. Para isto, introduzimos um novo operador diferencial linear de segunda ordem que estende o p-Laplaciano. Consoante a este operador, desenvolvemos fórmulas do tipo Bochner e Reilly para subvariedades imersas na esfera unitária. Como primeira aplicação, obtemos estimativas inferiores para o primeiro autovalor do p-Laplaciano em termos do quadrado da norma da segunda forma fundamental de tal imersão sendo esta sharp nas esferas unitárias. No caso em que a variedade possui bordo não vazio, obtemos como resultado a caracterização de calotas esféricas. Na sequência, aplicamos as fórmulas do tipo Bochner e Reilly para o estudo de subvariedades com curvatura média constante e curvatura escalar preescrita também na esfera unitária. Em todos os resultados caracterizamos esferas e calotas esféricas na igualdade. Ainda com respeito a variedades compactas, apresentaremos uma versão analítica dos resultados anteriores para o caso singular em que p está entre 3/2 e 2. Por fim, estudamos variedades completas e não compactas. Nesta direção, estabelecemos um teorema do tipo Liouville. Como resultado, obtivemos aplicações deste resultado na teoria de solitions gradientes e imersões em produtos warped.

Neste trabalho, estudamos as condições necessárias para a existência de instabilidade de Turing em sistemas de EDP de tipo reação-difusão com termos não locais. O estudo foi realizado em sistemas com duas equações (nos casos unidimensional e bidimensional) e com três equações (também nos casos unidimensional e bidimensional). Após compreender essas condições, aplicamos nossos resultados em um modelo epidemiológico do tipo SIR e em um modelo do tipo predador-presa, analisando o efeito e a importância de estudar a instabilidade de Turing. nesses modelos.

Estudamos a estabilidade paramétrica em um caso simplicado do problema restrito espacial de três corpos, onde um planeta descreve uma órbita elíptica devido à atração gravitacional do Sol, fixo no foco da elipse, e um satélite move-se no espaço sujeito apenas à atração gravitacional do planeta. Inicialmente, investigamos a dinâmica de dois corpos interagindo gravitacionalmente. Discutimos os equilíbrios do sistema Hamiltoniano deste sistema binário em um referencial rotatório relativamente ao qual o Hamiltoniano é autônomo. Determinamos as formas normais do Hamiltoniano quadrático na região de estabilidade linear em uma vizinhança dos pontos de equilíbrio. Posteriormente, analisamos o problema de estabilidade paramétrica do sistema Hamiltoniano obtido do referido problema restrito espacial simplificado de três corpos. Este sistema Hamiltoniano é 𝜏 -periódico com três graus de liberdade e contém um parâmetro 𝜇, razão entre as massas do planeta e do Sol. Calculamos os equilíbrios deste sistema Hamiltoniano 𝜏 -periódico e estudamos a estabilidade paramétrica do sistema linearizado numa vizinhança de um dos pontos de equilíbrio do sistema, construindo, respectivamente, as superfícies e as curvas que separam as regiões de estabilidade e instabilidade no espaço e no plano dos parâmetros utilizando para isto o método de Deprit-Hori.

A tese investiga soluções do tipo onda estacionária em sistemas de reação-difusão do tipo FitzHugh–Nagumo com coeficientes espacialmente heterogêneos que mudam de sinal. Novas abordagens analíticas são desenvolvidas para tratar dos desafios decorrentes do fato de que os coeficientes considerados são variáveis, tanto em domínios limitados quanto ilimitados. Por meio de técnicas variacionais e da teoria de bifurcação, são estabelecidos resultados de existência e multiplicidade de ondas estacionárias que mudam de sinal. A análise caracteriza a influência dos parâmetros do sistema sobre a estrutura das soluções e a formação de padrões, fornecendo arcabouços matemáticos com possíveis aplicações em modelagem neurobiológica e em meios excitáveis.

Neste trabalho, iremos tratar de uma das limitações do uso de grafos para modelar relacionamentos entre variáveis, a falha em interpretar e medir corretamente interações de mais de duas variáveis, i.e., $n$-a-$n$. Por sabermos que modelos de redes cerebrais por grafos possuem a propriedade modular, i.e., o aparecimento de comunidades (ou clusters) de vértices dentro do grafo, nosso objetivo é aplicar os métodos aqui mostrados a "grafos de maior dimensão", modelados através de complexos simpliciais, para ver se essa relação modular permanece. Nós usamos dados de pouco mais de 1000 jovens adultos, fornecidos pelo Human Connectome Project (HCP), e observamos e calculamos as interações $3$-a-$3$ entre áreas do cérebro, utilizando métricas de teoria da informação. Para fazer isso, precisamos primeiramente introduzir fundamentos da teoria dos grafos, que servirão de inspiração para as propriedades de complexos simpliciais e hipergrafos que utilizaremos. Concluímos essa dissertação ao apresentar os resultados obtidos. Nós observamos o aparecimento de comunidades de interações de três pontos na grande maioria dos pacientes e vimos que existe certa conexão entre a modularidade (métrica qualitativa sobre as comunidades encontradas) o cérebro dos pacientes e alguns dados clínicos. Fizemos tais comparações separando por sexo. Também mostramos uma comparação entre os nossos resultados e as mesmas características que aparecem ao utilizar um modelo com grafos.

Este trabalho reúne alguns tópicos de epidemiologia matemática, bem como alguns conceitos não necessariamente pertencentes a este ramo mas que são essenciais para que os resultados principais sejam devidamente compreendidos e aplicados. Será apresentada uma breve introdução sobre epidemiologia de forma geral e como é estudada do ponto de vista matemático (na nossa vertente, que utiliza modelos compartimentais), seguida por uma discussão sobre o número reprodutivo básico de um modelo epidemiológico, acompanhada das definições e resultados necessários para realizar os estudos apresentados posteriormente acerca deste tema, que envolvem técnicas para calculá-lo e sua interpretação epidemiológica. Outra grande questão que será abordada neste trabalho é a da teoria de controle ótimo e sua aplicação a modelos epidemiológicos. Da mesma forma, virá acompanhada de uma série de conceitos e resultados préviosnecessários para a compreensão e correta utilização das ferramentas apresentadas. Nesta parte, além dos resultados-chave envolvendo controle ótimo, como o Princípio do Máximo de Pontryagin, traremos também técnicas computacionais para resolução dos problemas de controle ótimo, como o método de varredura frente-trás e os códigos que executam o método de resolução de equações diferenciais ordinárias visto em matériasde cálculo numérico conhecido como Runge-Kutta, ambas escritas no MATLAB. Por fim, como aplicação dos resultados vistos nesta parte de controle ótimo, abordaremos um modelo que estuda ocomportamento da COVID-19 frente a uma política de quarentena estabelecida no Brasil estruturando a população em três grupos etários e considerando os custos inerentes à implementação desta política.

Este trabalho é dedicado a obter a propriedade de controle ótimo do tipo Bang-Bang para a equação não linear de Korteweg-de Vries-Burgers (KdV-B) em um domínio limitado cujo controle atua internamente em um subconjunto deste domínio. Inicialmente, utilizamos a teoria de semigrupos para garantir a boa colocação do problema de valor inicial associado à equação KdV-B, tanto para o caso linearizado quanto para o caso não linear. Em seguida, estudamos a controlabilidade nula da equação KdV-B, que dividiremos em dois casos. Para o caso linear, aplicamos o método da dualidade que consiste em provar uma desigualdade de observabilidade, esta obtida com o auxílio de uma desigualdade de Carleman. Com resultado linear em mãos, o caso não linear é estendido utilizando o teorema do ponto fixo de Kakutani. Adicionalmente, provamos a existência de controle ótimo associado à controlabilidade nula para a equação KdV-B e que qualquer controle ótimo satisfaz a
propriedade Bang-Bang.

Este trabalho visa introduzir o modelo epidêmico SIR ao incorporar o conceito de “tempo de infecção” dos indivíduos na classe de infectados. Para isso, inicialmente será exposto o modelo clássico utilizando equações diferenciais ordinárias (EDOs). Posteriormente, serão realizadas modificações necessárias no sistema para integrar o tempo de infecção, resultando em um sistema com EDOs juntamente de uma equação diferencial parcial (EDP). Discutiremos então a forma da solução desse novo sistema e estabeleceremos a existência e unicidade dessa solução. Além disso, será proposto um modelo numérico de primeira ordem para simular o sistema modificado, juntamente com uma análise do comportamento de erro numérico de tal algoritmo. Por fim, serão apresentadas simulações ilustrativas para oferecer uma compreensão prática do funcionamento do modelo proposto.

Estamos interessados em uma classe de equações elípticas não-lineares e sistemas regidos por uma taxa de crescimento sub-natural. Fornecemos estimativas pontuais globais do chamado tipo Brezis-Kamin em termos de potenciais de Wolff, o que nos permite obter e condições suficientes para a existência de soluções positivas.

Exploramos três problemas parabólicos com termos não-lineares singulares. No primeiro problema, abordamos a equação de Hardy-Hénon em domínios arbitrários do espaço Euclidiano e investigamos condições de existência e não-existência de soluções globais, que dependem do comportamento do semigrupo aplicado ao dado inicial. Como consequência, recuperamos em alguns casos o expoente crítico de Fujita do problema. No segundo problema, examinamos a boa colocação nos espaços de Lebesgue ponderados para uma equação parabólica de Hamilton-Jacobi com termo gradiente ponderado. No terceiro problema, tratamos a equação de Hardy-Hénon no grupo de Heisenberg e obtemos resultados para existência local, bem como para soluções globais e explosão em tempo finito.

Neste trabalho, investigamos a existência de soluções positivas para certas classes de equações de Schrödinger e sistemas acoplados com não linearidades do tipo Stein-Weiss. No caso escalar, analisamos classes de equações que envolvem perturbações no termo de Stein-Weiss com potencial que pode se anular no infinito ou ser constante igual a 1. Consideramos tanto o caso de uma não linearidade geral, com crescimento subcrítico que satisfaz certas condições apropriadas, quanto o caso homogêneo crítico no sentido da desigualdade de Stein-Weiss. Além disso, exploramos duas classes de sistemas acoplados. A primeira classe envolve um sistema linear, com potenciais que podem se anular no infinito e não linearidades gerais com crescimento subcrítico, também atendendo a condições específicas. A segunda classe trata-se de um sistema não linear acoplado, cujas não linearidades gerais apresentam crescimento exponencial crítico no sentido da desigualdade de Trudinger-Moser. Estudamos a existência de soluções positivas e a regularidade das soluções para este sistema. Para alcançar os resultados, empregamos métodos variacionais, utilizando técnicas de minimização sobre a variedade de Nehari, truncamentos combinados com a técnica de penalização de Del Pino e Felmer, e o método de iteração de Moser para obter estimativas $L^{\infty}$. Além disso, ao lidar com o sistema não linear acoplado, apresentamos uma alternativa aos argumentos padrão, baseada em uma variante do princípio de criticalidade simétrica de Palais, em vez dos argumentos tradicionais de vanishing-nonvanishing e shifted sequences de Lions, que não são aplicáveis, devido o duplo peso presente na convolução do tipo Stein-Weiss.

Nesta tese, estudamos algumas generalizações dos espaços de Sobolev de ordem fracionária e aplicações. Especificamente, no caso dos espaços de Orlicz-Sobolev fracionários, apresentamos uma visão geral dos desenvolvimentos recentes na teoria, com foco em propriedades qualitativas e resultados de imersão. Em seguida, aplicamos esses resultados, juntamente com o método do quociente de Rayleigh não linear e o método de minimização na variedade de Nehari, para investigar condições que garantem a existência de soluções não triviais para uma classe de problemas do tipo Φ-Laplaciano fracionário superlinear com dois parâmetros. No contexto dos espaços de Musielak-Sobolev fracionários, estendemos e complementamos os resultados teóricos existentes. Mais precisamente, estabelecemos alguns resultados abstratos, como convexidade uniforme, a propriedade Radon-Riesz com relação à função modular, a propriedade (𝑆+), um lema do tipo Brezis-Lieb para a função modular e resultados de monotonicidade. Além disso, aplicamos a teoria desenvolvida para estudar a existência de soluções para uma classe de problemas envolvendo um operador não local e não linear geral do tipo Φ-Laplaciano fracionário. Por fim, estudamos o comportamento assintótico de funções modulares e seminormas associadas a espaços fracionários de Musielak-Sobolev quando o parâmetro fracionário se aproxima de 1, sem exigir a condição Δ2 na função de Musielak ou em sua função complementar. Esta investigação culmina em uma fórmula do tipo Bourgain-Brezis-Mironescu para uma família muito geral de funcionais. É importante enfatizar que a obtenção desses resultados exigiu a introdução de hipóteses específicas sobre as funções de Musielak envolvidas.

We studied minimal Hilbert vectors for Artinian Goresntein algebras and the Lefschetz lucus for algebras with Hilbert vector (1,n,n,1).

Neste trabalho obtemos uma solução de energia mínima do Ypo Nehari e também uma solução não trivial usando o Teorema do Passo da Montanha, para o seguinte sistema planar de Schrödinger-Poisson $$ \len\{\begin{array}{l} -\Delta u+V(x) u+\phi u=f(x, u), \quad x \in \mathbb{R} ^2, \\ \Delta \phi=u^2, \quad x \in \mathbb{R}^2, \end{array}\right. $$ em que o potencial $V(x)$ e a função não linear $f(x, u)$ são tomados como sendo axialmente simétricos em $x$ e $f(x, u)$ é assintoYcamente cúbica ou supercúbica em $u$, características essas que trazem relevância ao estudo, uma vez que as funções com simetria axial são mais gerais que funções com simetria radial. Além de que existem poucos trabalhos considerando o problema acima com essa parYcularidade.

Modelos de confinamento quântico de partículas possuem diversas aplicações em física, química e até biologia. O confinamento em superfícies têm aplicação direta em nanoestruturas, transporte eletrônico dentre outras propriedades. Aspectos de sua formulação, porém, ainda não estão totalmente resolvidos. A maneira de escrever a equação de Schrödinger pode variar de acordo com a montagem do problema. Descrições que não levam em conta o espaço ambiente são as mais usadas e estão presentes nos livros didáticos. Já a utilização do ambiente no qual o sistema quântico está imerso pode ser feita de maneiras distintas e não há um consenso de quais resultados estão mais de acordo com experimentos. Nesta dissertação, buscamos esclarecer um artigo de Da Costa (Quantum mechanics of a constrained particle. Physical Review A, APS, v. 23, n. 4, p. 1982, 1981),  que traz uma das primeiras formas de incluir o ambiente no problema do confinamento quântico. Esta metodologia representou um grande avanço para a área, ficou explícito como características intrínsecas, locais, da variedade e extrínsecas, do ambiente, podem aparecer no modelo além do operador de energia cinética, o Laplaciano. Encontramos algumas inconsistências no modelo tanto para superfícies quanto para curvas. Fizemos alguns estudos de casos e para curvas fizemos algumas generalizações de hipóteses assumidas no artigo trabalhado. Temos perspectivas para propor alternativas na forma de obter a separação de variáveis, tanto para superfícies, quanto curvas quanto outras variedades.

Neste trabalho, fazendo o uso de ferramentas da Análise Funcional e Topologia, estudamos o modelo fracionário de Keller- Segel para quimiotaxia, de ordem entre 0 e 1, no espaço Rn com n maior ou igual a 2. Considerando dados iniciais suficientemente pequenos, provaremos a boa colocação do problema em espaços homogêneos de Besov-Herz fraco, bem como a continuidade fraca da solução no tempo igual a 0. Por fim, faremos uma análise
do comportamento assintótico da solução.

A proposta desta tese é estudar subvariedades imersas em certos produtos Riemannianos que estendem naturalmente o espaço Euclidiano (n+1)-dimensional. Para isto desenvolvemos uma fórmula do tipo Simons para subvariedades com segunda curvatura média constante e possuindo vetor curvatura média normalizado paralelo imersas nestes espaços e, tendo como hipóteses restrições adequadas no quadrado da
norma do tensor de umbilicidade e da função ângulo, concluímos que estas devem ser totalmente umbílicas em um slice. Em seguida, considerando subvariedades Weingarten linear fechadas, obtivemos uma desigualdade integral que nos permitiu classificar aquelas que atingem a igualdade como as totalmente umbílicas ou uma certa família de subvariedades paralelas contidas em um slice. Por fim, consideramos subvariedades que são pontos críticos do funcional curvatura média total e, para o caso particular das superfícies que satisfazem a equação de Euler-Lagrange deste funcional, obtviemos uma desigualdade integral que relaciona o tensor de umbilicidade da superfície com sua característica de Euler. Como consequência, caracterizamos aquelas que atingem a igualdade obtendo como um dos resultados, uma classe de superfícies mínimas.

Neste trabalho, estudamos as equações de Navier-Stokes em duas situações diferentes, o primeiro caso trata-se do problema fracionário em que temos o modelo de Keller-Segel duplo acoplado ao fluido de Navier-Stokes, o segundo diz respeito às equações de Navier-Stokes com viscosidade hereditária. Para o modelo acoplado provamos a existência de soluções brandas globais com dados iniciais pequenos em espaços de Besov-Morrey críticos. Os resultados apresentados nos permitem obter soluções auto-similares desde que os dados iniciais sejam funções homogêneas com normas pequenas e considerando o caso do atraente químico sem taxa de degradação. Além disso, verificamos a estabilidade assintótica de soluções com o tempo tendendo ao infinito e obtemos uma classe de soluções assintoticamente auto-similares. Para as equações com viscosidade hereditária usamos a estrutura dos resolventes subordinados para aplicar a mesma metodologia do caso acoplado. Da mesma forma, garantimos com isso a existência e unicidade de soluções brandas globais ou locais, a depender do núcleo da equação integro-diferencial, com condições iniciais pequenas em espaços de Besov-Morrey. Para as soluções globais também obtemos resultados de estabilidade sob perturbação dos dados iniciais.

Neste trabalho, estudamos numericamente a dinâmica de N- vórtices em alguns domínios com fronteira, a saber, o disco unitário denotado por D1; e a região interna de uma elipse centrada na origem com semieixos a=cosh(c) e b=senh(c), onde c>0 este último domínio é denotado por E1. A estabilidade de uma solução periódica dada por N-vórtices iguais em D1 é determinada.
As soluções de um dipolo são estudadas cuidadosamente em E1. Mostramos ainda, utilizando mapas de Póincaré, que a dinâmica do dipolo em E1 é caótica. Por fim, utilizamos a conjectura de Kimura para destacar as diferenças e semelhanças na dinâmica de dois vórtices nos domínios D1 e E1.

Nesta tese, buscamos identificar as principais diferenças estruturais e dinâmicas em redes cerebrais de indivíduos com transtorno do espectro autista (ASD) e aqueles com desenvolvimento típico (TD). Utilizando ferramentas de Análise Topológica de Dados (TDA) e implementações em Python, conseguimos construir redes cerebrais para cada indivíduo em nosso banco de dados, utilizando grafos, hypergrafos e complexos simpliciais. Com base em uma generalização do modelo de Kuramoto para complexos simpliciais, estudamos o fenômeno de hipersincronização na rede cerebral media de um indivíduo TD e o comparamos com um indivíduo ASD. Por meio de uma análise detalhada de diversas centralidades de hypergrafo, conseguimos visualizar as regiões do cérebro com as maiores diferenças entre os dois grupos, utilizando ferramentas modernas de visualização em TDA e comparamos com a literatura em ASD. Esse trabalho contribui para o melhor entendimento de aspectos dinâmicos, topológicos e geométricos em redes cerebrais, em particular relativos ao transtorno do espectro autista.

Neste trabalho, estudamos bifurcações de configurações de Dziobek dos problemas de quatro e cinco corpos com o objetivo de encontrar novas configurações centrais. Inicialmente estudamos as bifurcações de uma configuração triangular com corpos de massas unitárias em seus vértices e centrada num corpo com massa de valor arbitrário. Utilizando o método de Redução de Liapunov-Schmidt e o Teorema da Ramificação Equivariante, confirmamos que apenas as três famílias de configurações já conhecidas   bifurcam da configuração degenerada. Em seguida, estudamos as bifurcações de uma configuração de Dziobek do problema de cinco corpos no espaço. Mais precisamente, uma configuração tetraedral com corpos de massas unitárias nos vértices e centrada num corpo de massa arbitrária. Primeiramente, analisamos o que ocorre numa vizinhança da configuração degenerada variando igualmente três das massas dos vértices. Em seguida, variamos igualmente duas das massas dos vértices. Utilizamos o método de Redução de Liapunov-Schmidt, a equivariância das equações que descrevem o problema e expansão de Taylor para obter novas configurações centrais. No primeiro caso, encontramos quatro novas famílias simétricas que surgem da configuração degenerada e no segundo, encontramos três novas famílias simétricas.

Neste trabalho elencaremos alguns resultados da teoria de Morse em dimensão finita e infinita para funcionais de classe C^{2} definidos em uma variedade diferenciável M e modelada em um espaço de Hilbert H. Em determinados casos, tais resultados quando aliados a teoremas de deformação, nos possibilitam descrever grupos críticos de certos pontos críticos e, por conseguinte, a aquisição de teoremas de pontos críticos que garantem sob quais condições uma função f admite um ou mais pontos críticos não-triviais. Como aplicação estudaremos a  existência e multiplicidade de soluções para uma classe de Problemas Elípticos Semilineares. Para tal, utilizaremos ferramentas do Cálculo Variacional e a Teoria de Morse aplicados ao funcional associado ao problema, definido no espaço de Sobolev adequado para buscarmos soluções fracas dessa classe de problema.

Nesta dissertação apresentamos alguns modelos populacionais, demográficos, epidemiológicos e evolucionários em
biomatemática. Os modelos populacionais exponencial e logístico são apresentados e, em seguida, aplicados à genética de populações. Dinâmicas evolucionárias são previstas nessa monografia através de modelos de invasão de equilíbrio. Por fim, a genética de populações é aplicada a um modelo epidemiológico compartimentado com o fim de prever tendências na evolução parasitária.

As equações diferenciais de segunda ordem (SODE) têm desempenhado um importan- tissímo papel do estudo de modelos físicos e biológicos, em particular, o sistema de Volterra- Hamilton (4.13) é um dos SODE mais usados em problemas ecológicos. Desenvolvemos os assuntos nevessários de geometria Finsler afim de esturdarmos alguns aspectos das trajetórias que são soluções de um sistema de Volterra-Hamilton. Algumas vezes as geodesicas de uma espaço Finsler podem ser encaradas como um um sistema de Volterra-Hamilton, onde as estas trajetórias podem ser interpretadas como uma produção de uma espécie no meio-ambiente, e o funcional métrico pode representar o funcional do custo de produção. No sentido biológico, foi apresentado por Antonelli em, (ANTONELLI; RUTZ, 2005), os espaços Finsler bidimensionais as- sociados a cada tipo de iteraração entre espécies. Espaços de curvatura são considerados para investigar a estabilidade de produção de duas espécies, durante suas interações de produção, pela curvatura Gaussian de Berwald K para bidimensionais espaços Finsler (ANTONELLI; INGARDEN; MATSUMOTO, 1993). Um outro assunto importante neste trabalho é a ideia de semisprays e sprays (3.2), que representa um SODE algum espaço Finsler, por exemplo. Alguns invariantes geométricos, chamados de invariantes KCC, são calculados para estudar aspectos das trajetótias soluções de um semispray. Usamos a teoria dos sistemas de Volterra-Hamilton e seus funcionais de custo para estudar a dinâmica populacional e o processo de produção de um recife de corai em recuperação de branqueamento, mostrar que o custo de produção permanece o mesmo após o processo. A teoria KCC com seus invariantes geométricos são determinantes para o modelo proposto afim de descrever a interação simbiótica renovada entre as algas e os corais.

O objetivo desse trabalho é apresentarmos estimativas para o decaimento em $L^2$ das derivadas de ordem mais alta para as soluções fracas das equações de Navier-Stokes, seguindo as linhas de Guterres, Niche, Perusato e Zingano [7]. De forma mais precisa, partindo de condições iniciais dadas em L^2_\sigma, buscamos estimar o decaimento (para tempo grande) das soluções na norma $\dot{H}^m(\mathbb{R}^3)$, para cada $m \geq 0$ inteiro. Para isso, aplicamos para as equações de Navier-Stokes os resultados gerais originalmente para uma classe de EDP's parabólicas obtidos em [7]. Neste caso, apresentamos uma prova mais simples dos resultados. Ao longo desse trabalho, assumimos sempre a hipótese do fluido ser incompressível. Além do mais, ao longo do texto demonstramos alguns resultados auxiliares de interesse como: ferramentas de análise, resultados sobre o comportamento assintótico para a equação do calor e desigualdades do tipo Sobolev. Em particular, mostramos a desigualdade do tipo Sobolev desenvolvida em Braz e Silva, J. Zingano e P. Zingano [3].

Nesta dissertação propomos uma derivação alternativa de um efeito físico espontâneo envolvendo as soluções do sistema micropolar. Tal efeito, obtido recentemente por R. Guterres, W. Melo, C. Perusato e P. Zingano, expressa uma forte sincronia (para tempo grande) entre a vorticiade de fluido e sua velocidade de microrrotação. Daremos um argumento heurístico para a obtenção desta propriedade. Além disso, vários resultados auxiliares de interesse são mostrados em detalhe nos capítulos iniciais do presente trabalho.

Neste trabalho apresentaremos ferramentas para o estudo de propriedades ergódicas e estatísticas de transformações expansoras, expansoras por partes e hiperbólicas. Conheceremos o operador de transferência, para o qual nos dedicaremos em boa parte do trabalho ao estudo do seu espectro quando atua sobre algum espaço de funções regulares (Hölder, Lipschitz, �� 1, Sobolev ����,1, etc.). Neste estudo serão importantes as desigualdades de Lasota-Yorke, as quais implicam em diversos casos que o operador possui a propriedade de lacuna espectral – essa propriedade é obtida graças ao Teorema de Hennion. Como consequência estatística da propriedade de lacuna espectral, veremos que esta é suficiente para demonstrar o decaimento exponencial de correlações para as dinâmicas consideradas. As ferramentas citadas acima serão aplicadas para os casos de transformações expansoras e para expansoras por partes, onde obteremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas e o decaimento exponencial de correlações. Para algumas expansoras em dimensão 1 veremos também que a medida invariante tem densidade regular em algum espaço de Sobolev. Também apresentaremos o deslocamento de Markov como um exemplo ilustrativo da propriedade de lacuna espectral e dodecaimento exponencial de correlaçoes. Veremos também outras consequências da dinâmica ter lacuna espectral, como o Teorema Central do Limite, e como a lacuna espectral implica na dependência diferenciável de densidade invariante em relação à dinâmica, o que é conhecido como linear response formula. Ao final, iremos fazer um breve estudo de dinâmicas uniformemente contrativas. Aqui tomaremos espaços duais aos que foram usados para as expansoras e assim iremos obter regularidade para o operador de transferência associado àdinâmica contrativa. Com isto, daremos um exemplo de uma classe de dinâmicas hiperbólicas para a qual vamos definir uma norma de forma que temos uma desigualdade tipo Lasota-Yorke.

Neste trabalho, provamos a existência e finitude de medidas físicas suportadas em atratores parcialmente hiperbólicos para difeomorfismos locais cuja direção central é neutra e satisfazem uma condição geométrica de transversalidade entre as imagens das direções instáveis. Provamos também que estas medidas são absolutamente contínuas e a união de suas bacias possui volume total na bacia de atração do atrator. Além disso, verificamos que se o atrator tem direção central neutra e a ação da derivada sobre a direção instável está próxima de conforme, então é possível perturbar a dinâmica de modo que satisfaça a condição geométrica de transversalidade e, portanto, tenha finitas medidas físicas absolutamente contínuas. Ao final, fornecemos alguns exemplos onde são satisfeitas tais condições. Em especial, exibimos um exemplo de atrator não hiperbólico, com expoentes de Lyapunov centrais negativos (é mostly contracting) e cujas medidas físicas são absolutamente contínuas e outro exemplo de um atrator que possui expoentes de Lyapunov centrais positivos e negativos.

O aumento da temperatura acelera o desenvolvimento das formas imaturas do Aedes aegypti. Por sua vez, caso alcance a forma alada, a fêmea adulta do mosquito possui a chance de efetuar um repasto sanguíneo num hospedeiro virêmico. Após um período de disseminação e replicação do vírus no organismo do mosquito, assim que o vírus chega às glândulas salivares, a fêmea adulta torna-se apta a infectar pessoas suscetíveis de uma população. Este Período de Incubação Extrínseco conhecido como EIP, que no caso da dengue varia em média de 15 dias à 25°C a 6,5 dias à 30°C, é fundamental no estudo epidemiológico de arboviroses mundialmente relevantes como a dengue, chikungunya, zika e febre amarela. Portanto, quanto maior a longevidade de uma fêmea adulta, maior é sua probabilidade de atingir o EIP e passar a transmitir tais doenças. Há décadas, a longevidade das fêmeas adultas é alvo de exploração por pesquisadores em diferentes regimes de temperatura. Por outro lado, trabalhos recentes têm investigado a influência da umidade relativa do ar juntamente com temperatura nas taxas de mortalidade dos alados. No nosso trabalho, propomos uma modelagem baseada em agentes que permite simular e analisar o ciclo de vida do Aedes aegypti em diversas configurações climáticas, desde a fase aquática até a fase adulta. Simulamos computacionalmente e investigamos a relação longevidade versus comprimento do EIP da dengue na tentativa de propor soluções para o combate ao Aedes aegypti em grandes capitais brasileiras.

Neste trabalho estudaremos a existência de configurações centrais simétricas do problema de N corpos sob a ótica da teoria de grupos através de ações de subgrupos finitos do grupo ortogonalnos espeaços euclideanos de dimensão a partir do Teorema de James Montaldie com o auxílio do Princípio da Criticalidade Simétricade Richard Palais. Com objetivo de evitar ordenações artificiais dos corpos estudados, construiremos ao longo do texto a estrutura topológica e diferenciável do espaço de configurações ordenadas quocientado pelo grupo de permutações para exibir a possibilidade de analisar configurações centrais a partir de pontos críticos da função potencial restrita a algum nível do momento de inércia. Além disso, mostraremos algumas generalizações da forma geométrica das configurações com simetria diedral e cíclica para corpos no plano euclideanoe com o auxílio do software SageMath, faremos o mesmo para configurações com simetria tetraedral e octaedral para corpos no espaço euclideano tridimensional.

A dissertação tem como objetivo fazer uma introdução à K-teoria e da relação desta com os operadores de Fredholm. Será apresentada uma demonstração do Teorema de Periodicidade de Bott via a construção do index bundle aplicada aos operadores de Wiener-Hopf.

Nesta dissertação estudaremos o sistema de Boussinesq do tipo KdV-KdV, o qual descreve a propagação de ondas (de pequena amplitude) na superfície de um canal de água. O trabalho será dividido em 5 capítulos. O primeiro capítulo diz respeito a resultados clássicos que serão utilizados no desenvolvimento da dissertação. No segundo capítulo, estudaremos como obter dissipação da energia associada a solução do sistema e o efeito regularizante de Kato, sendo preciso, mostraremos algumas condições de contorno que garantem estas duas propriedades. No terceiro capítulo voltamos nossa atenção para o problema de controlabilidade exata para o sistema linearizado de Boussinesq do tipo KdV-KdV com dois controles. Utilizando o método da unicidade de Hilbert mostraremos que o sistema em questão é exatamente controlável. No quarto capítulo usaremos o fato de que a energia do sistema é dissipativa, para um certo conjunto de condições de contorno, e juntamente com algumas estimativas pontuais garantimos a boa colocação do problema e a estabilidade exponencial das soluções. Por fim, no último capítulo, apresentaremos algumas considerações e perspectivas de estudos futuros para o sistema de Boussinesq.

Ferramentas matemáticas, como a modelagem, são constantemente utilizadas no estudo da demográfica humana. Mesmo que os sistemas estruturados etariamente tenham sido escritos primeiramente para esta área, as ideias e formas empregadas contribuem bastante para o desenvolvimento de outras populações biológicas, sendo simples ou complexas. A idade é um parâmetro importantíssimo na estruturação de uma população,então o presente estudo visa modelar sistemas populacionais lineares e não-lineares com dependência etária cuja população é dividida em fases ou estágios de vida onde uma respectiva fase é representada pela equação de nascimento total correspondente à fase de vida anterior, isto é, representadas por equações acopladas. Conceitos muito trabalhados na demografia humana, como taxas de fertilidade, mortalidade, natalidade, são incorporados aos sistemas e por método numérico três dos modelos estudados são representados e têm seus códigos escritos no software MATLAB a fim de encontrar uma solução aproximada para cada modelo quando aplicados a dados reais de uma espécie de anfíbio anuro: a Rana temporaria. Os gráficos de distribuição etária e temporal obtidos no programa, em cada fase de vida da espécie, são comparados com os dados presentes sobre a mesma na literatura. Os modelos aplicados a R. temporaria foram um linear com taxas vitaisconstantes, outro também linear com taxa de fertilidade adulta periódica no tempo e, o último, não-linear com um termo logístico na fase adulta. Na parte teórica do trabalho, foi obtida existência, unicidade, positividade e regularidade das soluções de cada modelo e, na aplicação numérica, comparando os resultados obtidos com os dados de vida da R. temporaria, o modelo logístico foi o mais condizente com a realidade da população.