Banca de DEFESA: NATHAN DOS SANTOS NICOLÁU

Uma banca de DEFESA de DOUTORADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE : NATHAN DOS SANTOS NICOLÁU
DATA : 18/02/2022
HORA: 14:00
LOCAL: Através de videoconferência
TÍTULO:

Abordagem do espaço de Fock para caminhadas aleatórias de Lévy em um intervalo unidimensional: tempo médio de primeira passagem e probabilidades de absorção

PALAVRAS-CHAVES:

Caminhada aleatória; Teorema do limite central; Difusão normal; Difusão anômala,
Distribuição alpha-estável de Lévy; Abordagem do espaço de Fock

PÁGINAS: 113
RESUMO:

Estudamos o problema das partı́culas aleatórias com distribuições α-estáveis de Lévy em um domı́nio finito
unidimensional com limites absorventes, utilizando o formalismo do espaço de Fock. Nessa abordagem, a
equação mestra é obtida na forma de uma equação de Schrödinger de valor real com um operador quase-
Hamiltoniano relacionado às probabilidades de transição, definidas pelos comprimentos de saltos de Lévy.
Apresentamos um estudo de quantidades estatı́sticas importantes para esse problema em função dos autovalores
e autovetores do quase-Hamiltoniano, do ı́ndice de estabilidade α de Lévy, da posição inicial da partı́cula e do
tempo. Aplicamos esse problema em um espaço finito discreto e no limite contı́nuo do espaço. Para ambos os
casos, de primeiro momento, calculamos as taxas de sobrevivência S(t) e as probabilidades de absorção P0(t) e
PN(t) das fronteiras, ambos os resultados em função do tempo.
Em particular, mostramos os diferentes comportamentos dinâmicos de S(t), que inicialmente é regido por uma
lei de potência no tempo (S(t) ∼ t^−γ ), obedecendo o teorema de Sparre-Andersen (para domı́nios semiinfinitos)
e a longo prazo é ditado por um decaimento exponencial (S(t) ∼ exp(−λt) ). Conseguimos ilustrar essa
mudança de comportamento dinâmico para alguns valores do ı́ndice α. Para o caso do espaço discreto, a
abordagem de Fock teve uma excelente concordância com os resultados das simulações numéricas de Monte
Carlo. Já para o limite contı́nuo do espaço, mostramos que o formalismo de Fock vai se ajustando melhor com
as curvas numéricas conforme aumentamos o comprimento dos passos (diminuı́mos α) e aumentamos o
intervalo de tempo. Por fim, estudamos o tempo médio de primeira passagem em função da posição inicial e do
ı́ndice de estabilidade α, e o comportamento assintótico das probabilidades de absorção das fronteiras. Esse
comportamento assintótico é alcançado com precisão no formalismo de Fock. Além disso, ao considerar o
limite contı́nuo do espaço, nossos resultados correspondem perfeitamente ao resultado analı́tico exato para um
caminhante de Lévy no espaço finito contı́nuo. Esses últimos resultados são relevantes para uma série de
contextos práticos, como forrageamento animal e transmissão de luz em meios de dispersão aleatória, e nossas
descobertas podem ser úteis para a melhor compreensão desses sistemas.

MEMBROS DA BANCA:
Externo à Instituição - MARCOS GOMES ELEUTERIO DA LUZ
Presidente - 2287840 - ERNESTO CARNEIRO PESSOA RAPOSO
Interno - 1129671 - MAURICIO DOMINGUES COUTINHO FILHO
Interno - 2378411 - RENE RODRIGUES MONTENEGRO FILHO
Externo à Instituição - ROBERTO RIVELINO DE MELO MORENO