Banca de QUALIFICAÇÃO: LUDMILA DE PINHO CAVALCANTI

Uma banca de QUALIFICAÇÃO de DOUTORADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE: LUDMILA DE PINHO CAVALCANTI
DATA : 28/08/2026
LOCAL: Google Meet
TÍTULO:

Aspectos dinâmicos do modelo de Expansão-Modificação via operadores de substituição

 

 

PALAVRAS-CHAVES:

operadores de substituição, transição de fase, modelagem matemática

PÁGINAS: 62
RESUMO:

Por muito tempo, acreditou-se que transições de fase seriam impossíveis em
sistemas unidimensionais — tese defendida classicamente por Landau e Lifshitz e que
fundamentou a "conjectura das taxas positivas", a qual propunha que tais sistemas seriam
sempre ergódicos. Essa conjectura foi formalmente refutada por Gács [1] por meio de um
sistema altamente complexo, com cerca de $2^{100}$ estados por componente e uma
probabilidade de desvio ($\sim 2^{-50}$). No entanto, diante de tamanha complexidade, Gray
[2] sugeriu que nenhum sistema unidimensional tradicional e substancialmente mais simples
seria capaz de derrubar a conjectura.
Motivado por essa limitação, Toom [3] propôs uma nova classe de sistemas não clássicos de
partículas unidimensionais em interação, hoje conhecidos como "processos com operadores
de substituição". Esses sistemas abrem novas possibilidades e aproximam, de forma mais
realista, modelos químicos e biológicos que consideram a inserção, deleção e coalescência
de partículas. Nesse cenário, Li [4] propôs um modelo biológico para estudar a relação entre
sistemas dinâmicos abertos e um determinado ruído. Na modelagem desse sistema, cada
componente assume os estados 0 ou 1, e sua evolução ocorre em tempo discreto.
Informalmente, a cada passo de tempo, ocorrem as seguintes transições de maneira
independente: um componente no estado 1 vai para o estado 11 (sofre mitose) com
probabilidade $1-\alpha$, ou vai para o estado 0 (sofre conversão) com probabilidade
$\alpha$; Um componente no estado 0 vai para o estado 00 com probabilidade $1-\beta$, ou

vai para o estado 1 com probabilidade $\beta$. Chamamos esse modelo de Expansão-
Modificação.

Em nossa pesquisa, consideramos o modelo de Expansão-Modificação com suas
componentes localizadas em $\mathbb{Z}$. Demonstramos que é possível representar o
modelo por meio da composição dos operadores de substituição básicos propostos por
Toom et al.[5]. Essa abordagem nos permitiu mostrar que, independentemente do par de
parâmetros $(\alpha, \beta)$, o modelo em questão sempre possui ao menos uma
distribuição invariante, além de o operador desfrutar da propriedade de continuidade. Através
do uso da teoria de processos de ramificação multitipos, buscamos obter a densidade de
partículas no estado 1 (uns) sob a medida invariante.
[1] P. Gacs. Reliable Cellular Automata with Self-Organization. Journal of Statistical Physics,
103 n. 1/2 (2001), 45-267.

[2] L. F. Gray. A Reader's Guide to Gacs's "Positive Rates" Paper. Journal of Statistical
Physics, 103 n. 1/2 (2001),1-44.
[3] A. Toom. Particle systems with variable length. Bulletin of the Brazilian Mathematical
Society, v. 33, p. 419–425, 2002
[4] W. Li. Spatial 1/f Spectra in Open Dynamical Sytems. Europhysics Letters, v. 10, n. 5, p.
395–400, 1989.
[5] A. Toom; A. Ramos; A. V. Rocha; A. Simas. Random Processes with Variable Length. In:
$28^{o}$ Colóquio Brasileiro de Matemática. [S.l.]: IMPA, 2011

 

MEMBROS DA BANCA:
Presidente - 1665736 - ALEX DIAS RAMOS
Externo ao Programa - 3073433 - JOAO ANTONIO MIRANDA GONDIM - nullInterno - 3100567 - PABLO MARTIN RODRIGUEZ